ගණිතය ගැන විද්වත් අදහස්‌
ගණිතය සියලු අතින් යහපත් මෙන්ම හොඳ ය. (එහෙත් ස්‌වභාවධර්මය එසේ නො වේ). එය අප ගේ නාසයෙන් අල්ලා එයට කැමැති කැමැති දිශාවනට අපව ඇදගෙන යයි.
ඇල්බට්‌ අයින්ස්‌ටයින්
විද්වත් ඇල්බට්‌ අයින්ස්‌ටයින් ගේ ඉහත කියමනෙන් ධ්වනිත වන අදහස වනුයේ ගණිතය කිසියම් පිළිවෙළකට නීතියකට අනුව හැසිරෙන නමුත් ස්‌වභාවධර්මය වහා තේරුම් ගත නොහැකි කිසියම් අත්තනෝමතික ස්‌වභාවයේ හැසිරීමක්‌ පෙන්නුම් කරන බවයි. ස්‌වභාවධර්මය හා ගණිතය දෙආකාරයක පැවැත්මන් (entities) ලෙස අපට පෙනී ගිය ද ඒවා පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්‍යයනයන්හි දී ස්‌වභාවධර්මය හා ගණිතය යන වචන ද්වයෙන් ම එක ම පැවැත්මක්‌ පිළිබඳව අදහස්‌ කිරීමට අපට සිදු වෙයි. මන්ද එවන් ගැඹුරු තලවල දී ස්‌වභාවධර්මය අප ගේ ඉන්ද්‍රිය ගෝචර සීමා මායිම් ඉක්‌මවා යමින් එහි අනන්‍යත්වය තවදුරටත් හඳුනා ගැනීමට අපට නොහැකි ව ඇති බැවිනි. උදාහරණයක්‌ ලෙස සෛද්ධාන්තික භෞතික විද්‍යාවේ දී විද්‍යාඥයෝ බල අංශු (Force particles) පිළිබඳව කථා කරති. එම බල අංශු පිළිබඳව සෛද්ධාන්තික භෞතික විද්‍යාඥ පිලිප් මොරිසන් (Philip Morrison) මෙසේ පවසයි. "බලන්න, බල සහ අංශු යන වචන එම පැවැත්මන් විස්තර කිරීමේ හොඳ ම ආකාරය නො වෙයි. Physical Review වැනි විද්‍යා ප්‍රකාශනයක්‌ ඔබ කියවුව හොත් එහි දී ඔබට බල අංශු පිළිබඳව කියවීමට නො ලැබෙයි. එහි දී ඔබ කියවනු ඇත්තේ ලග්රාන්ජියන්ස්‌ (Lagrangians) පිළිබඳවයි" ලග්රාන්ජියනයක්‌ යනු භෞතිකමය දෙයක්‌ නො වේ. එය ගණිතමය දෙයකි. හරියට ම කිව හොත් ලග්රාන්ජියනයක්‌ යනු අවකල සමීකරණ වර්ගයකට (a kind of differential equation) අයත් දෙයකි.
වත්මන් යුගයේ දී ඒ අයුරින් භෞතික විද්‍යාව හා ගණිතය කෙතරම් ඒකාත්මික ලෙස බැඳී ඇති දැයි කිව හොත් සංඛ්‍යාත් එම සංඛ්‍යා ම`ගින් විස්තර කරනු ලබන දේවලුත් වෙන් කර හඳුනාගත නොහැකි තත්ත්වයක්‌ උද්ගත ව පවතී. (It is hard to separate the numbers from the things they describe). විද්‍යාවේ ගැඹුරු ඉසව්වල දී ගණිතයත් ස්‌වභාවධර්මයත් අතර පවතින මේ ඒකාත්මික සබැ`දියාව නොබෙල් ත්‍යාගලාභී විද්වත් බර්ටන් රිච්ටර් (Burton Richter) ගේ පහත දැක්‌වෙන වදන් තුළින් ද ප්‍රකාශ වෙයි.
"ගණිතය යනු ස්‌වභාවධර්මය විස්තර කිරීම සඳහා යොදාගැනෙන භාෂාවයි. එහෙත් අප වැනි භෞතික විද්‍යාඥයන් ගණිතය යන්න ස්‌වභාවධර්මය ලෙසින් ම සැලකීමට පටන් ගනිමින් ඇත. සෛද්ධාන්තික භෞතික විද්‍යාඥයන්ට ලග්රාන්ජියනයන් යනු යථාර්ථයමයි."
සැම උසස්‌ සිසුවකු ම වාගේ ස්‌වභාවධර්මය හා සංඛ්‍යා "උනුන් හා අත්වැල් බැඳ ගමන් කරමින් සිටින බව" හොඳින් දන්නා කරුණකි. සමහර විට භෞතික විශ්වය තේරුම් ගැනීම සඳහා ඇති එක ම මාර්ගය විවෘත ව ඇත්තේ ජ්‍යාමිතිය හා කලනය යන වියුක්‌ත ගණිත අදහස්‌ තුළ ගැඹුරට කිමිදීමට කැමැත්තවුනට පමණක් විය හැකි ය. විද්‍යාව මිනිසුනට දැකිය හැකි, ඇසිය හැකි, වි`දිය හැකි භෞතික දේවල් පිළිබඳව කථා කරයි. තාරකා, දේදුනු, ග්‍රහවස්‌තු, අවලම්බ, සෛල, තාපය ආදී මෙකී නො කී දහසකුත් එකක් දේවල් පිළිබඳව එය තොරතුරු විමසයි. එහෙත් ඒවා පිළිබඳව ඉගෙනීමේ එක ම මාර්ගය ඇත්තේ සංඛ්‍යා තුළ (එනම් ගණිතය තුළ) බව පෙනී යැම ඇදහිය නොහැකි පුදුමයකි. විද්වත් රිචර්ඩ් ෆෙයින්මාන් (Richard Feynman) ගේ වචනවලින් "මට කනගාටුයි, නමුත් සැබෑව එයයි, මිනිසුන් තුළ ගණිතය පිළිබඳ ගැඹුරු දැනුමක්‌ නොමැති විට දී ස්‌වභාවධර්මයේ විස්‌මයජනක අලංකාරත්වය ඔවුනට දැනෙන අයුරින් පහදා දීමට අපට නොහැකියි".
ස්‌වභාවධර්මය පිළිබඳ සත්‍යය සැඟව ඇත්තේ සංඛ්‍යා තුළ ය යන අදහස අඩු තරමින් ක්රිස්තු පූර්ව හයවැනි සියවස තරම් ඈතක සිට පැවත එන්නකි. ඒ පයිතගරස්‌ දාර්ශනිකයා "දේවල් යනු සංඛ්‍යා ය" (Things are numbers) යන අදහස දේශනා කරමින් සිටි කාල වකවානුවයි. ගණිතය තුළ අපරිමේය සංඛ්‍යා දැකීමෙන් "දේවල් අතික්‍රමණය කළ සංඛ්‍යා ද ඇත." යනුවෙන් තම අදහස සංශෝධනය කිරීමට පසුව විද්වත් පයිතගරස්‌ට සිදු වූ බව අපි දනිමු. (පසුගිය විදුසර ගණිත ලිපි බලන්න). භෞතික නියමයක්‌ ගණිතමය ලෙස සූත්‍රගත කළ ප්‍රථමයා ද සමහර විට විද්වත් පයිතගරස්‌ විය හැකි ය. සංගීතය ලෙසින් අප ශ්‍රවණය කරන ධ්වනි සංයෝජනයන් පූර්ණ සංඛ්‍යා සබඳතාවන් (Whole-number relationships) මත පදනම් ව පවතී. ඒ බව ධ්වනි විද්‍යාවේ දී අපි උගනිමු. තව ද පයිතගරස්‌ ගේ විශ්වාසය වූයේ අහස තුළ ග්‍රහවස්‌තූන් නො ඇසෙන සංධ්වනීන්ට අනුව තැන්පත් ව කක්‌ෂගත ව ඇති බව ය. "ග්‍රහවස්‌තූන් එකිනෙක අතර තබාගන්නා පරතරය තුළ සංගීතය ඇත" ඔහු එලෙස ලීවේ ය. විද්වත් පයිතගරස්‌ සංඛ්‍යා තුළ දුටුවේ එදිනෙදා ජීවිතයේ ඇති වියවුල් සහගත සංකිර්ණත්වයේ දී ලබා ගැනීමට කිසිසේත් නොහැකි මනෝහර වූ අලංකාරත්වයක්‌ හා පරිපූර්ණත්වයකි. එහෙත් අවාසනාවකට මෙන් සංඛ්‍යා ද වියවුල් සහගත සංකීර්ණත්වයකින් යුක්‌ත විය හැකි බව තේරුම් ගැනීමට පයිතගොරියානුවන්ට වැඩි කලක් ගත වූයේ නැත. සංඛ්‍යාවල තිබිය හැකි වියවුල් සහගත බව හා සංකීර්ණත්වය ඔවුන්ට අවබෝධ වූයේ අපරිමේය සංඛ්‍යා හමු වීමෙන් පසු ව ය. සැම සබන් බුබුළක, සාගරයේ සැම පෙණ බුබුළක, සූර්ය බිම්බයක හෝ චන්ද්‍ර බිම්බයක එම අපරිමේය සංඛ්‍යා "සැඟව ඇත". අපරිමේය සංඛ්‍යා සොයා ගැනීමෙන් පයිතගොරියානුවන් කෙතරම් නොසන්සුන් බවට හා අන්දමන්ද බවට පත් වූයේ ද යත් ලෝකයේ මූලයන් රැඳී ඇත්තේ වියවුල් සහගත බව තුළ යෑයි ඔවුන්ට සිතෙන්නට ඇත. ඔවුන් අපරිමේය සංඛ්‍යා සොයාගැනීම ලොවට රසහක්‌ ලෙස තබාගැනීමට උත්සාහ කළේ ඒ නිසා විය හැකි ය. අතාත්වික සංඛ්‍යා (Complex numbers) නැත හොත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (Imaginary numbers) පිළිබඳව අසන්නට නො ලැබීම සමහර විට ඔවුන් ගේ වාසනාවකි. මන්ද ඒවා පිළිබඳව ඔවුන්ට දැනගන්නට ලැබුණේ නම් ගණිතය තුළ වියවුල් සහගත බව පමණක් නො ව විය නොහැකි බව ද ක්‍රියාත්මක ව පවතින බව දැකීමෙන් ඔවුන් වඩාත් අන්දමන්ද බවට හා වික්‌ෂිප්ත බවට පත් වන්නට ඉඩ තිබිණි. විද්වත් පයිතගරස්‌ ගේ යුගයෙන් දශක ගණනාවකට පසු ජොහැන්නස්‌ කෙප්ලර් (Johannes Kepler) නමැති තාරකා විද්‍යාඥයා සංඛ්‍යා ගණිතය පිළිබඳ පයිතගරස්‌ ගේ සුසමාදර්ශය කියවීමෙන් කොතරම් වශීකෘත වූයේ ද යත් සියලු ග්‍රහවස්‌තූන් නම් කරන ලද ඝන වස්‌තූන් පහක්‌ තුළ සපර්යන්ත ව ඇති ගෝල ඔස්‌සේ චලිත වන්නේ ය යන කල්පිතය ඔප්පු කිරීම සඳහා සිය ජීවිත කාලය කැප කරමින් උත්සාහ කළේ ය. "මහා මැවීමට පෙර ද ජ්‍යාමිතිය පැවතිණි, එය දෙවියන් වහන්සේ ගේ මනසත් සමග සමගාමීව සදාකාලිකව පැවත එමින් තිබේ. ජ්‍යාමිතිය යනු දෙවියන්වහන්සේ ම ය" මේ විද්වත් කෙප්ලර්ගේ වදන් ය. දහ නව වැනි සියවස තරම් මෑතක දී ද රේඩියෝ තරංග සොයාගත් හෙයින්රිච් හර්ට්‌ස්‌ (Heinrich Hertz) විද්‍යාඥයා ද ගණිතය පිළිබඳව එවැනි ම අදහසක්‌ ප්‍රකාශ කර තිබේ. "මේ ගණිත සූත්‍රවලට ස්‌වාධීන පැවැත්මක්‌ ද ඒවාට ම හිමි ස්‌වාධීන බුද්ධියක්‌ ද තිබෙන්නේ ය යන හැඟීමෙන් කිසිවකුටත් මිදිය නොහැකියි. එම ගණිත සූත්‍ර අපට වඩා බුද්ධිමත් ය. ඒවා සොයාගත් බුද්ධිමතුන්ට ද වඩා ඒවා බුද්ධිමත් ය"
ගණිත සමීකරණවල මුවවිටින් නික්‌මුණු විස්‌මයජනක විද්‍යා සොයාගැනීම් රාශියක්‌ එම ගණිත සමීකරණවල තිබෙන්නේ යෑයි හර්ට්‌ස්‌ විද්වතා විශ්වාස කරන ස්‌වාධීන බුද්ධිය ධ්වනිත කරන සාක්‌ෂීන් ය. ක්‌වාර්ක්‌ස්‌ (Quarks), ප්‍රතිපදාර්ථ (antimatter) පමණක් නො ව ආලෝකය යනු විද්යුත් චුම්බක තරංග විශේෂයක්‌ ය යන්න ද එවැනි විද්‍යා සොයාගැනීම් අතර වෙයි. විද්යුත් ක්‍ෂෙත්‍රයක්‌ එක් පසෙකිනුත් චුම්බක ක්‍ෂෙත්‍රයක්‌ අනෙක්‌ පසෙනුත් පවතින සන්දර්භයක්‌ යටතේ සිදු වන සංසිද්ධිවල ගණිතමය ප්‍රකාශයන්හි දී 3×1010 යන සංඛ්‍යාව පැනන`ගින බව විද්වත් ඡේම්ස්‌ ක්‌ලාක්‌ මැක්‌ස්‌වෙල් (James Clarke Maxwell) නිරීක්ෂණය කළේ ය. 3×1010 යනු රික්‌තයක්‌ තුළ දී තත්පරයට සෙන්ටිමීටර්වලින් මැනෙනුයේ ආලෝකයේ ප්‍රවේගයයි. ආලෝකය විද්යුත් චුම්බකත්වය සමග සම්බන්ධ වූයේ මේ වැදගත් නිරීක්ෂණය මාර්ගයෙනි.
සංඛ්‍යා, භෞතික දේවල් හා සම්බන්ධ විස්‌මයජනක නෑදැකම් මතු කර දෙන්නේ ය යන කාරණය එක් අතකින් පුදුමයට කරුණක්‌ නො වේ. මන්ද සංඛ්‍යා සංකල්පයෙහි සාරය වන්නේ නෑදෑකම් වන බැවිනි. වෙනත් වචනවලින් පැවසුව හොත් සංඛ්‍යා යනු නෑදෑකම් ය.
ඇත්තෙන් ම සංඛ්‍යා යනු අප ගේ සංවේදන සංජානනයන් මත පරම වශයෙන් රඳා නො පවතිමින් එනම් ඒවායේ ආධාරය පිහිට කොට නො ගනිමින් එක් දෙයක්‌ තවත් දෙයක්‌ සමග සම්බන්ධ කළ හැකි විධි ස්‌වල්පය අතුරින් එකකි. එහෙත් සංඛ්‍යා ඒ ලෙස උසස්‌ සත්‍යයන් නැත හොත් අධිසත්‍යයන් හෙළි කරයි නම් සංඛ්‍යා හෙළි කරන එම සත්‍යයන් අප අසා නුපුරුදු වෙනත් ආකාරයක සත්‍යයන් බව ද අප තේරුම් ගත යුතු ය. මේ කාරණය විද්වත් ඇල්බට්‌ අයින්ස්‌ටයින් ඉදිරිපත් කරන්නේ මේ ලෙසිනි.
"ගණිත ප්‍රකාශයන් තාත්විකත්වය (භෞතික ලෝකය) වෙත යොමු වන්නේ කෙතරම් දුරකට ද, එතරම් ම දුරකට එම ගණිත ප්‍රකාශයන්හි නිවැරැදි බව හා නිශ්චිත බව සහතික නො වේ. ගණිත ප්‍රකාශයන්හි නිවැරැදි බව හා නිශ්චිත බව සහතික වන්නේ කෙතරම් දුරකට ද, එතරම් ම දුරකට එම ගණිත ප්‍රකාශ භෞතිකත්වය වෙත යොමු නො වේ".
පුදුමයකට මෙන් සංඛ්‍යා සතු ඉහත සඳහන් ගුණාංගය ම ඒවායේ ශක්‌තිමත් බවේ, බල සම්පන්න බවේ ප්‍රභවය බවට පත් ව තිබේ. එනම් සත්‍ය වශයෙන් ම සලකන කල ගණිත විස්තර කිරීම් (mathematical descriptions) තාත්විකත්වය නිරූපණය නො කරන අතර ගණිත විස්තර කිරීම්වලට තාත්විකත්වය නිරූපණය කිරීමට ද සැබැවින් ම නොහැකි ය. තාත්විකත්වය ගණිතයට වඩා සංකීර්ණ දෙයකි. විවිධ විද්වතුන් ගණිතය පිළිබඳව සිදු කර ඇති විවිධ ප්‍රකාශ රැසකින් ම ඉහත කාරණය ධ්වනිත වේ.
"අනික්‌ අතට සලකන කල ගණිතයේ උත්කෘෂ්ඨ බව හා මහේශාක්‍ය බව වන්නේ අප කථා කරමින් සිටින්නේ කුමන (භෞතික) දෙයක්‌ පිළිබඳව ද යන්න පැවසීමට ගණිතයේ දී අපට සිදු නො වන බැවිනි"
මේ විද්වත් ෆෙපයින්මාන් (Feynman) ගේ වචනයි. ෆෙපයින්මාන් තවදුරටත් මෙසේ පවසයි. "ගණිතයේ එම මහේශාක්‍ය බව නම් ගණිත නියමයන්, විවාදයන් (විවරණයන්), තර්කණයන් භෞතිකත්වයෙන් වියුක්‌ත ව පැවතීමයි" විද්වත් බර්ට්‍රන්ඩ් රසල් (Bertrand Rñsell) ද එම අදහස ම මෙලෙස පවසයි.
"ගණිතය යනු අප කථා කරමින් සිටින්නේ කුමක් ගැන දැයි අපට කිසි විටක දැනගත නොහැකි එමෙන් ම අප කථා කරමින් සිsටින කරුණ සත්‍ය දැයි අපට කිසි විටක දැනගත නොහැකි ලක්‌ෂණයන් ගෙන් යුත් විෂයයක්‌ ලෙසින් අර්ථ දැක්‌වීමට අපට පුළුවන්කම තිබේ."
ඇත්තෙන් ම එම විද්වතුන් මේ අදහස්‌ පවසන්නේ ගැඹුරු වියුක්‌ත ගණිතය පිළිබඳව මිස ව්‍යවහාරික ප්‍රායෝගික ගණිතයන් පිළිබඳව නො වන බව අප තේරුම් ගත යුතු ය.
වියුක්‌ත ගණිතය ඒ අයුරින් භෞතිකත්වයට වෙනස් දෙයකි. එලෙස භෞතිකත්වය නො ව භෞතිකත්වය පිළිබඳව සිතිය හැකි ආකාරයක්‌ ලෙස කෙනකුට ගණිතය හැඳින්විය හැකි ය.
ගණිතය එක් පියවරක සිට තවත් පියවරකට "ගෙන යනු" ලබන්නේ තර්කණය හෝ සම්මුතිමය තර්කණය පෙන්වන මාර්ගයන් ඔස්‌සේ ය. ගණිතය විද්‍යාවේ භාෂාව ය යන කියමන අපි අසා ඇත්තෙමු. එහෙත් විද්‍යාව පිළිබඳ මේ ගණිත භාෂාව පහසුවෙන් අනෙකුත් භාෂාවන්ට පරිවර්තනය කළ නොහැකි ය. මෙයට හේතුව ගණිත භාෂාව භාෂාවකට වඩා වැඩි යමක් වීම නිසා ය. එනම් ගණිත භාෂාව තනිකර භාෂාවක්‌ නො ව තර්කණය සමග සංයුක්‌තව ඇති භාෂාවක්‌ වෙයි. කේතකරණය කරන ලද (Coded) දේවල් අතර සම්බන්ධතාව ඇති කරන විධික්‍රමයක්‌ ලෙසින් ගණිතය හඳුන්වා දෙනු ලැබිය හැකි අතර එලෙස කේතකරණය කරන ලද දේවල් "ගණිතයේ සඳහන් මාර්ගය" ඔස්‌සේ මෙහෙයවමින් අනුගමනය කරන ඕනෑ ම අයකුට අදාළ ගණිත ප්‍රතිඵලය කරා ස්‌ථිර ව ම ළඟා විය හැකි වෙයි. ඇත්තෙන් ම මෙහි ලියා ඇති "ගණිතයේ සඳහන් මාර්ගය" යන්න ගණිතය පිළිබඳ නිවැරැදි දැක්‌ම පැහැදිලි කරන උචිත යෙදුමක්‌ නො වේ. මන්ද ගණිතය යනු මාර්ගය ම වන බැවිනි.
විද්‍යාඥයන් මුහුණ දී ඇති භෞතිකත්වය පිළිබඳ ප්‍රහේළිකා රාශියක්‌ ඔවුන් විසින් ඉදිරිපත් කරනු ලැබ ඇත්තේ සංඛ්‍යා (ගණිත) ස්‌වරූපයෙනි. එක් උදාහරණයක්‌ නම් මෙතෙක්‌ පැහැදිලි කිරීමක්‌ කළ නොහැකි ව ඇති 1/137 යන සංඛ්‍යා අනුපාතයයි.
මෙය තවදුරටත් විස්තර කළ හොත් විද්යුත් ආරෝපණ පිළිබඳ ස්‌වාභාවික ඒකකය, රික්‌තයක්‌ තුළ ආලෝකයේ ප්‍රවේගය, ප්ලාන්ක්‌ නියතය (Plank's Constant) වැනි ස්‌වාභාවික සාර්වත්‍රයික ඒකකයන් ගණිතමය ලෙස සම්බන්ධ කරන අවස්‌ථාවල දී එක්‌තරා නියතයක්‌ පැන න`ගිමින් තිබේ. මෙම නියතය පිළිබඳ පුදුමාකාර කාරණය වන්නේ එම සම්බන්ධතාව ගණිතමය ලෙස ඇති කිරීම සඳහා ඔබ කුමන සංගත ඒකක භාවිත කළ ද එහිදී ඔබට ලැබෙන එම නියතයේ අගය 1/137 වීමයි. එනම් 1/137 යනු මාන මත ර`දා නො පවතිමින් භෞතිකත්වය හා ගණිතය සම්බන්ධ කරන අභිරහස් නියතයකි.
භෞතිකත්වය සමග බැඳී ඇති එවැනි ගුප්ත සංඛ්‍යා මගින් භෞතිකත්වයේ ගැඹුරු රහස්‌ නිරූපණය වන්නේ ද යන පැනය විද්‍යාඥයන් ගේ සිත් තුළ පැනනැ`ගී තිබේ. විද්‍යාඥයන් අනාවරණය කරගෙන ඇති පරිදි ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයක ස්‌කන්ධය ප්‍රොaටෝනයක හෝ නියුට්‍රොaනයක ස්‌කන්ධය මෙන් 2000 වාරයක්‌ කුඩා ය. මෙය පරමාණුවක ස්වභාවය තීරණය කරන එක් පදනම් කාරණයකි. මේ අගය 2000 නො ව වෙනත් සංඛ්‍යාවක්‌ නො වූයේ ඇයි? සමහර විට මෙවැනි "විකාර" පැනවලට ඇත්තේ දාර්ශනික පිළිතුරු පමණක් විය හැකි ය. මෙවැනි ගැටලු පර්යේෂණ ම`ගින් විසඳිය නොහැකි බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නො වේ. මිනිසුන් වන අපට මෙවැනි ගැටලුවලට පිළිතුරු ලබාගත හැකි මාර්ගයන් විවෘත ව තිබේ නම් ඉන් එකක් ගණිතය විය හැකි බව මෙහි දී පැවසිය හැකි ය.
(පොත පත ඇසුරිනි)
මතු සම්බන්ධයි
පියසිරි සූරියගේ
